AF 09.03.12
Tables of a solution to the equation f(f(x)) = x**2 -2

A fortran code to tabulate
  f = z + 1 / z , where z = [ (2 x^2 - 4 +- 2 x * sqrt(x^2 - 4)) ) / 4 ] ^ (1 / sqrt(2))
follows.
 d(x) = f(f(x)) - (x**2 -2) .

      programma
      double precision x,f1,f2,d1,d2
      x=4.
      y=0.501
      a=1.
      a=x**y
      print*,'A print from the program : a=',a

      do x = 2.d0, 3.d0, 1.d-1
         f1 = f( 1, x)
         f2 = f(-1, x)
         d1 = f ( 1, f1) - (x**2 - 2.)
         d2 = f (-1, f2) - (x**2 - 2.)

         print *, 'x =',x, ' f1 =', f1, ' f2 =', f2
     +          , ' d1 =', d1, ' d2 =', d2
      enddo

      do x = 2.d0, 100.d0, 1.d0
         f1 = f( 1, x)
         f2 = f(-1, x)
         d1 = f ( 1, f1) - (x**2 - 2.)
         d2 = f (-1, f2) - (x**2 - 2.)

         print *, 'x =',x, ' f1 =', f1, ' f2 =', f2
     +          , ' d1 =', d1, ' d2 =', d2
      enddo

      stop
      end
 
      double precision function f(isig,x)

      double precision x,a,b,sum,z

      a = 2. * x**2 - 4.d0
      b = 2. * x * dsqrt (x**2 - 4.d0)
      if (isig .ge. 0) then
         sum = a + b
      else
         sum = a - b
      endif
      z = (sum / 4.d0)** (1.d0 / dsqrt(2.d0))
      f = z + 1. / z
      return
      end

Output tables for x = 2 , 2.1 , ..., 2.9 , 3 :

 A print from the program : a=  2.00277448
 x =  2. f1 =  2. f2 =  2. d1 =  0. d2 =  0.
 x =  2.1 f1 =  2.20165563 f2 =  2.20165563 d1 = -1.52587891E-07 d2 =
 -1.52587891E-07
 x =  2.2 f1 =  2.40657997 f2 =  2.40657997 d1 =  1.5258789E-07 d2 =
  1.5258789E-07
 x =  2.3 f1 =  2.61471081 f2 =  2.61471081 d1 =  2.00271606E-07 d2 =
  2.00271606E-07
 x =  2.4 f1 =  2.82598901 f2 =  2.82598901 d1 = -9.53674473E-09 d2 =
 -9.53674473E-09
 x =  2.5 f1 =  3.0403583 f2 =  3.0403583 d1 = -2.66453526E-15 d2 =
 -2.66453526E-15
 x =  2.6 f1 =  3.25776482 f2 =  3.25776482 d1 =  2.28881833E-07 d2 =
  2.28881833E-07
 x =  2.7 f1 =  3.47815657 f2 =  3.47815657 d1 = -3.81469762E-08 d2 =
 -3.81469762E-08
 x =  2.8 f1 =  3.70148444 f2 =  3.70148444 d1 =  1.52587886E-07 d2 =
  1.52587886E-07
 x =  2.9 f1 =  3.92770076 f2 =  3.92770076 d1 = -1.52587896E-07 d2 =
 -1.52587896E-07
 x =  3. f1 =  4.15676022 f2 =  4.15676022 d1 = -5.32907052E-15 d2 =
 -5.32907052E-15
Tables for x = 2 , 3, .... , 99, 100 :
x =  2. f1 =  2. f2 =  2. d1 =  0. d2 =  0.
 x =  3. f1 =  4.15676022 f2 =  4.15676022 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  4. f1 =  6.5948472 f2 =  6.5948472 d1 =  9.53674316E-07 d2 =
  9.53674316E-07
 x =  5. f1 =  9.27770519 f2 =  9.27770519 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  6. f1 =  12.1789856 f2 =  12.1789856 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  7. f1 =  15.2786551 f2 =  15.2786551 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  8. f1 =  18.5608788 f2 =  18.5608788 d1 = -3.81469727E-06 d2 =
 -3.81469727E-06
 x =  9. f1 =  22.0127754 f2 =  22.0127754 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  10. f1 =  25.6236191 f2 =  25.6236191 d1 =  7.62939453E-06 d2 =
  7.62939453E-06
 x =  11. f1 =  29.3843098 f2 =  29.3843098 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  12. f1 =  33.2870216 f2 =  33.2870216 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  13. f1 =  37.3249245 f2 =  37.3249245 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  14. f1 =  41.4920082 f2 =  41.4920082 d1 =  1.52587891E-05 d2 =
  1.52587891E-05
 x =  15. f1 =  45.782917 f2 =  45.782917 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  16. f1 =  50.1928635 f2 =  50.1928635 d1 =  1.52587891E-05 d2 =
  1.52587891E-05
 x =  17. f1 =  54.717514 f2 =  54.717514 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  18. f1 =  59.3529434 f2 =  59.3529434 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  19. f1 =  64.0955658 f2 =  64.0955658 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  20. f1 =  68.9420853 f2 =  68.9420853 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  21. f1 =  73.889473 f2 =  73.889473 d1 =  3.05175781E-05 d2 =
  3.05175781E-05
 x =  22. f1 =  78.9349136 f2 =  78.9349136 d1 = -3.05175781E-05 d2 =
 -3.05175781E-05
 x =  23. f1 =  84.0758133 f2 =  84.0758133 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  24. f1 =  89.3097382 f2 =  89.3097382 d1 = -6.10351562E-05 d2 =
 -6.10351562E-05
 x =  25. f1 =  94.6344299 f2 =  94.6344299 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  26. f1 =  100.047745 f2 =  100.047745 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  27. f1 =  105.547707 f2 =  105.547707 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  28. f1 =  111.132423 f2 =  111.132423 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  29. f1 =  116.800125 f2 =  116.800125 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  30. f1 =  122.549141 f2 =  122.549141 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  31. f1 =  128.377869 f2 =  128.377869 d1 = -6.10351562E-05 d2 =
 -6.10351562E-05
 x =  32. f1 =  134.284821 f2 =  134.284821 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  33. f1 =  140.268555 f2 =  140.268555 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  34. f1 =  146.327698 f2 =  146.327698 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  35. f1 =  152.460968 f2 =  152.460968 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  36. f1 =  158.667099 f2 =  158.667099 d1 = -0.000122070312 d2 =
 -0.000122070312
 x =  37. f1 =  164.944931 f2 =  164.944931 d1 =  0. d2 = -0.000122070312
 x =  38. f1 =  171.29332 f2 =  171.29332 d1 =  0.000122070312 d2 =
  0.000122070312
 x =  39. f1 =  177.711151 f2 =  177.711151 d1 = -0.000122070312 d2 =  0.
 x =  40. f1 =  184.197418 f2 =  184.197418 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  41. f1 =  190.751099 f2 =  190.751099 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  42. f1 =  197.371231 f2 =  197.371231 d1 =  0.000122070312 d2 =
  0.000244140625
 x =  43. f1 =  204.05687 f2 =  204.05687 d1 = -0.000122070312 d2 =
 -0.000122070312
 x =  44. f1 =  210.807159 f2 =  210.807159 d1 =  0. d2 =  0.000122070312
 x =  45. f1 =  217.621201 f2 =  217.621201 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  46. f1 =  224.498184 f2 =  224.498184 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  47. f1 =  231.437302 f2 =  231.437302 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  48. f1 =  238.437775 f2 =  238.437775 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  49. f1 =  245.498856 f2 =  245.498856 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  50. f1 =  252.619812 f2 =  252.619812 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  51. f1 =  259.799957 f2 =  259.799957 d1 =  0. d2 =  0.000244140625
 x =  52. f1 =  267.038605 f2 =  267.038605 d1 =  0.000244140625 d2 =
  0.00048828125
 x =  53. f1 =  274.335052 f2 =  274.335052 d1 = -0.000244140625 d2 =
 -0.000244140625
 x =  54. f1 =  281.688751 f2 =  281.688751 d1 =  0.000244140625 d2 =
  0.000244140625
 x =  55. f1 =  289.098999 f2 =  289.098999 d1 =  0. d2 =  0.000244140625
 x =  56. f1 =  296.565216 f2 =  296.565216 d1 =  0. d2 =  0.000244140625
 x =  57. f1 =  304.086823 f2 =  304.086823 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  58. f1 =  311.663239 f2 =  311.663239 d1 = -0.000244140625 d2 =
  0.000244140625
 x =  59. f1 =  319.293945 f2 =  319.293945 d1 =  0. d2 =  0.00048828125
 x =  60. f1 =  326.978363 f2 =  326.978363 d1 =  0.000244140625 d2 =
  0.000732421875
 x =  61. f1 =  334.715942 f2 =  334.715942 d1 = -0.000244140625 d2 =
 -0.0009765625
 x =  62. f1 =  342.506256 f2 =  342.506256 d1 =  0.000244140625 d2 =
  0.0009765625
 x =  63. f1 =  350.348724 f2 =  350.348724 d1 =  0. d2 =  0.00122070312
 x =  64. f1 =  358.242889 f2 =  358.242889 d1 = -0.000244140625 d2 =
 -0.00048828125
 x =  65. f1 =  366.188293 f2 =  366.188293 d1 = -0.00048828125 d2 =
  0.0029296875
 x =  66. f1 =  374.184479 f2 =  374.184479 d1 =  0. d2 =  0.00146484375
 x =  67. f1 =  382.230957 f2 =  382.230957 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  68. f1 =  390.327301 f2 =  390.327301 d1 =  0. d2 =  0.00048828125
 x =  69. f1 =  398.473114 f2 =  398.473114 d1 =  0. d2 =  0.00048828125
 x =  70. f1 =  406.667908 f2 =  406.667908 d1 =  0. d2 = -0.001953125
 x =  71. f1 =  414.911346 f2 =  414.911346 d1 =  0. d2 =  0.00048828125
 x =  72. f1 =  423.202972 f2 =  423.202972 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  73. f1 =  431.542419 f2 =  431.542419 d1 =  0. d2 =  0.0048828125
 x =  74. f1 =  439.929321 f2 =  439.929321 d1 =  0. d2 = -0.0029296875
 x =  75. f1 =  448.363251 f2 =  448.363251 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  76. f1 =  456.843872 f2 =  456.843872 d1 =  0. d2 =  0.00146484375
 x =  77. f1 =  465.370819 f2 =  465.370819 d1 =  0. d2 =  0.00390625
 x =  78. f1 =  473.943756 f2 =  473.943756 d1 =  0. d2 =  0.00927734375
 x =  79. f1 =  482.562317 f2 =  482.562317 d1 =  0. d2 =  0.001953125
 x =  80. f1 =  491.226166 f2 =  491.226166 d1 =  0. d2 = -0.0126953125
 x =  81. f1 =  499.934967 f2 =  499.934967 d1 =  0.00048828125 d2 =
 -0.005859375
 x =  82. f1 =  508.688385 f2 =  508.688385 d1 =  0. d2 =  0.005859375
 x =  83. f1 =  517.486145 f2 =  517.486145 d1 =  0.00048828125 d2 =
 -0.0161132812
 x =  84. f1 =  526.327881 f2 =  526.327881 d1 =  0. d2 = -0.005859375
 x =  85. f1 =  535.213318 f2 =  535.213318 d1 =  0. d2 =  0.0288085938
 x =  86. f1 =  544.142151 f2 =  544.142151 d1 =  0.00048828125 d2 =
 -0.025390625
 x =  87. f1 =  553.114075 f2 =  553.114075 d1 =  0.00048828125 d2 =
 -0.03515625
 x =  88. f1 =  562.128784 f2 =  562.128784 d1 =  0. d2 = -0.0048828125
 x =  89. f1 =  571.186035 f2 =  571.186035 d1 =  0.00048828125 d2 =
 -0.0141601562
 x =  90. f1 =  580.285461 f2 =  580.285461 d1 = -0.00048828125 d2 =
 -0.0190429688
 x =  91. f1 =  589.426941 f2 =  589.426941 d1 =  0. d2 = -0.052734375
 x =  92. f1 =  598.610046 f2 =  598.610046 d1 =  0. d2 =  0.
 x =  93. f1 =  607.834595 f2 =  607.834595 d1 = -0.0009765625 d2 =
 -0.0224609375
 x =  94. f1 =  617.100342 f2 =  617.100342 d1 =  0. d2 =  0.0576171875
 x =  95. f1 =  626.406982 f2 =  626.406982 d1 =  0. d2 =  0.0498046875
 x =  96. f1 =  635.754272 f2 =  635.754272 d1 =  0. d2 =  0.05078125
 x =  97. f1 =  645.141968 f2 =  645.141968 d1 =  0. d2 = -0.03125
 x =  98. f1 =  654.569824 f2 =  654.569824 d1 =  0. d2 = -0.0302734375
 x =  99. f1 =  664.037598 f2 =  664.037598 d1 =  0. d2 =  0.0126953125
 x =  100. f1 =  673.545044 f2 =  673.545044 d1 =  0. d2 = -0.0185546875